仿射变换

仿射变换

仿射变换是平移、缩放、旋转、对称、错切五种变换的组合，其数学表达形式如下：

⎧⎩⎨⎪⎪x′=a11x+a12y+x0y′=a12x+a22y+y0

采用齐次坐标系表示如下：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢⎢a11a12x0a12a22y0001⎤⎦⎥⎥⎥

从上面的公式可以看出，仿射变换就是线性变换加上平移变换。

下面分别看一下仿射变换的特例：平移，缩放（比例），旋转，对称，和错切。 1. 平移变换 平移变换可以表示为：

⎧⎩⎨⎪⎪x′=x+x0y′=y+y0

齐次坐标系中的平移变换矩阵形式：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢⎢10x001y0001⎤⎦⎥⎥⎥

2. 比例变换

比例变换可以表示为：

⎧⎩⎨⎪⎪x′=sx⋅xy′=sy⋅y

齐次坐标系中的平移变换矩阵形式：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢⎢sx000sy0001⎤⎦⎥⎥⎥

3. 旋转变换（绕原点旋转

θ角度，以逆时针方向旋转为正角度）

旋转变换可以表示为：

⎧⎩⎨⎪⎪x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ

齐次坐标系中的平移变换矩阵形式：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥⎥

4. 对称变换

以

y轴为对称线，矩阵表示为：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢−100010001⎤⎦⎥⎥=[−xy1]

以

x轴为对称线，矩阵表示为：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢1000−10001⎤⎦⎥⎥=[x−y1]

以

y轴为对称线，矩阵表示为：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢−1000−10001⎤⎦⎥⎥=[−x−y1]

5. 错切变换

沿

x方向错切，可表示为：

⎧⎩⎨⎪⎪x′=x+sxyy′=y

齐次坐标系中的矩阵形式：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢1sx0010001⎤⎦⎥⎥

同理，沿

x方向错切，可表示为：

⎧⎩⎨⎪⎪x′=xy′=syx+y

齐次坐标系中的矩阵形式：

[x′y′1]=[xy1]⋅⎡⎣⎢⎢⎢100sy10001⎤⎦⎥⎥⎥

可以看到这五种变化就是仿射变换的特例。

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