bzoj 4872 [Shoi2017]分手是祝愿

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​​ Description Zeit und Raum trennen dich und mich. 时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为 从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏 的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被 改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机 操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面， 可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个 策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使 用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定 是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。 Input 第一行两个整数 n, k。 接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。 1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n； Output 输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。 Sample Input 4 0

0 0 1 1

Sample Output 512 HINT Source 黑吉辽沪冀晋六省联考

考虑k=n的情况 怎么做 因为每个数 仅仅会控制比他小的约数 包括自己 所以我们无法通过全局一个都不改变的情况 不改变当前这个灯的状态 而通过其他灯的状态改变实现我们的目的

那么于是有一种贪心的做法 考虑按照编号从大到小分别考虑 如果亮着就操作他一下

这样得到一个最优的操作次数 如果要求的k>=best那么 显然直接输出答案*阶乘即可

剩下的我们可以列出dp方程 设f[i]表示在现在最优需要操作i次的情况下完成任务的期望次数

那么有转移f[i]=i/n*f[i]+(n-i)/n*f[i+1] 这样一个方程无法直接高斯消元

那么设dp[i]表示f[i]-f[i-1]这样一个差分数组

那么我们的dp[i]是可以递推的 于是将dp[i]替换进原来的转移方程即可

dp[i]=((n-i)*dp[i+1]+n)/i

#include#include#include#define ll long longusing namespace std;inline char gc(){ static char now[1<<16],*S,*T; if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;} return *S++;}inline int read(){ int x=0,f=1;char ch=gc(); while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();} while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=gc(); return x*f;}const int N=1e5+10;const int mod=100003;inline void inc(int &x,int v){x=x+v>=mod?x+v-mod:x+v;}int a[N],dp[N],inv[N],n,k,ans,jc;int main(){ freopen("bzoj4872.in","r",stdin); n=read();k=read();jc=1;int best=0; for (int i=1;i<=n;++i) jc=(ll)jc*i%mod,a[i]=read(); for (int i=n;i;--i){ if (!a[i]) continue; a[i]^=1;++best; for (int j=1;j*j<=i;++j){ if (i%j) continue; a[j]^=1;if (j*j!=i) a[i/j]^=1; } } if (best<=k) {printf("%lld\n",(ll)jc*best%mod);return 0;} dp[n]=inv[1]=1; for (int i=2;i<=n;++i) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; for (int i=n-1;i>k;--i) dp[i]=((ll)(n-i)*dp[i+1]%mod+n)*inv[i]%mod; for (int i=1;i<=best;++i) i<=k?inc(ans,1):inc(ans,dp[i]); printf("%lld\n",(ll)ans*jc%mod); return 0;}

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