计算机数学基础④(Algorithms and Functions)

计算机数学基础④(Algorithms and Functions)

文章目录

​​Algorithms and Functions(算法和函数)​​

​​Functions in General(普遍的函数)​​​​Algorithms(算法)​​​​Comparing Runtimes: Limits​​​​Limit Techniques and Heuristics​​

Algorithms and Functions(算法和函数)

Functions in General(普遍的函数)

Definition 4.1. Formally, a function consists of three parts:• A collection A of possible inputs. We call this the domain of ourfunction.• A collection B describing the type of outputs that our functionwill generate. We call this the codomain of our function.• A rule f that takes in inputs from A and generates outputs in B.Furthermore, in order for this all to be a function, we need it to satisfythe following property:For every potential input a from A, there should be exactly one b inB such that f(a) = b.In other words, we never have a value a in A for which f(a) is undefined,as that would cause our programs to crash! As well, we also do not allowfor a value a ∈ A to generate “multiple” outputs; i.e. we want to be ableto rely on f(a) not changing on us without warning, if we keep a thesame.

一般来说函数由三个部分组成：

可能输入的集合A。我们称它为函数的定义域。描述函数将生成的输出的集合B。我们称这个为函数的​​上域​​(注意此处不是值域)。从A中获取输入并在B中产生输出的规则f。

此外，为了使它成为一个函数，我们需要它满足以下性质： 对于A中的每一个可能的输入a，B种应该有一个b使f(a) = b。

换句话说，在a中没有一个值a是f(a)未定义的，因为这将导致我们的程序崩溃!同样，我们也不允许值a∈a产生“多个”输出;也就是说，我们希望f(a)不会毫无预兆地改变，如果我们保持a不变的话。

什么是上域？ 值域是上域的一个子集，上域是可能输出的集合，值域是实际输出的集合！ 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的结果。

假设你有一团揉好的白面，准备做彩色馒头，你加入紫薯能做出紫色馒头，加入火龙果能做出粉红色馒头，加入巧克力，加入艾草，加入… 令f(x)=“白面加入食材x做出的馒头颜色”，其上域就是所有颜色的集合，而值域是函数转变定义域后的对象的集合。 ----------值域是上域的一个子集，上域是可能输出的集合，值域是实际输出的集合！

这里解释了值域的定义：

我们将f的值域定义为上域中函数在定义域中实际发送值的所有值的集合。

定义了函数的符合，这里除了要掌握符号表达形式，还有内部函数的值域一定要是外部函数定义域的子集！

Algorithms(算法)

Definition 4.3. An algorithm is a precise and unambiguous set ofinstructions.

算法是一组精确而明确的指令。

如图是两种算法：

a%n的算法判断素数的算法

还有经典的排序算法(10种)，可以自行了解

Comparing Runtimes: Limits

涉及到了极限的概念

如果满足上式，那么我们就可以说函数f(n)增长的速度快于g(n)

Limit Techniques and Heuristics

Observation 4.12. Plugging In Values. Probably the simplest thingyou can do, when given a limit, is just physically plug in numbers andfigure out where the function is going.

代入值。可能你能做的最简单的事情，当给出一个极限时，就是物理地代入数然后算出函数的走向。

这里提供了一个建议，简化分数对求极限的重要性

求极限的另一个技巧：化成一个个小部分，再对每一个部分求极限

此节重点就是求极限，直接参考高等数学(上)即可

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